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　　高等數學(xué)(一)

　　本大綱適用于工學(xué)、理學(xué)(生物科學(xué)類(lèi)、地理科學(xué)類(lèi)、環(huán)境科學(xué)類(lèi)、心理學(xué)類(lèi)等四個(gè)一級學(xué)科除外)專(zhuān)業(yè)的考生.

　　總 要 求

　　考生應按本大綱的要求,了解或理解"高等數學(xué)"中極限和連續、一元函數微分學(xué)、一元函數積分學(xué)、空間解析幾何、多元函數微積分學(xué)、無(wú)窮級數、常微分方程的基本概念與基本理論;學(xué)會(huì )、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法.應注意各部分知識的結構及知識的內在聯(lián)系;應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力;能運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明,準確地計算;能綜合運用所學(xué)知識分析并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

　　本大綱對內容的要求由低到高,對概念和理論分為"了解"和"理解"兩個(gè)層次;對方法和運算分為"會(huì )"、"掌握"和"熟練掌握"三個(gè)層次.

　　復習考試內容

　　一、極限和連續

　　(一)極限

　　1.知識范圍

　　(1)數列極限的概念與性質(zhì)數列極限的定義

　　唯一性 有界性 四則運算法則 夾逼定理 單調有界數列極限存在定理

　　(2)函數極限的概念與性質(zhì)

　　函數在一點(diǎn)處極限的定義 左、右極限及其與極限的關(guān)系 x趨于無(wú)窮(x→oo,I→+co,x→-co)時(shí)函數的極限 唯一性 四則運算法則 夾逼定理

　　(3)無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

　　無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的定義 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系 無(wú)窮小量的性質(zhì) 無(wú)窮小量的比較

　　(4)兩個(gè)重要極限

　　2.要求

　　(1)理解極限的概念(對極限定義中"e-N"、"e-8"、"e-M"等形式的描述不作要求).會(huì )求函數在一點(diǎn)處的左極限與右極限,了解函數在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件.

　　(2)了解極限的有關(guān)性質(zhì),掌握極限的四則運算法則.

　　(3)理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念,掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系.會(huì )進(jìn)行無(wú)窮小量的比較(高階、低階、同階和等價(jià)).會(huì )運用等價(jià)r無(wú)窮小量代換求極限.

　　(4)熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法.

　　(二)連續

　　1.知識范圍

　　(1)函數連續的概念

　　函數在一點(diǎn)處連續的定義 左連續與右連續 函數在一點(diǎn)處連續的充分必要條件 函數的間斷點(diǎn)

　　(2)函數在一點(diǎn)處連續的性質(zhì)

　　連續函數的四則運算 復合函數的連續性 反函數的連續性

　　(3)閉區間上連續函數的性質(zhì)

　　有界性定理 最大值與最小值定理 介值定理(包括零點(diǎn)定理)

　　(4)初等函數的連續性

　　(1)理解函數在一點(diǎn)處連續與間斷的概念,理解函數在一點(diǎn)處連續與極限存在的關(guān)系,掌握函數(含分段函數)在一點(diǎn)處的連續性的判斷方法.

　　(2)會(huì )求函數的間斷點(diǎn).

　　(3)掌握在閉區間上連續函數的性質(zhì),會(huì )用介值定理推證一些簡(jiǎn)單命題.

　　(4)理解初等函數在其定義區間上的連續性,會(huì )利用連續性求極限.

　　二、一元函數微分學(xué)

　　(一)導數與微分

　　1.知識范圍

　　(1)導數概念

　　導數的定義 左導數與右導數 函數在一點(diǎn)處可導的充分必要條件 導數的幾何意義與物理意義 可導與連續的關(guān)系

　　(2)求導法則與導數的基本公式

　　導數的四則運算 反函數的導數 導數的基本公式

　　(3)求導方法

　　復合函數的求導法 隱函數的求導法 對數求導法 由參數方程確定的函數的求導法 求分段函數的導數

　　(4)高階導數

　　高階導數的定義 高階導數的計算

　　(5)微分

　　微分的定義 微分與導數的關(guān)系 微分法則一階微分形式不變性

　　2. 要求

　　(1)理解導數的概念及其幾何意義,了解可導性與連續性的關(guān)系, 掌握用定義求函數在一點(diǎn)處的導數的方法.

　　(2)會(huì )求曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程與法線(xiàn)方程.

　　(3)熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則及復合函數的求導

　　方法,會(huì )求反函數的導數.

　　(4)掌握隱函數求導法、對數求導法以及由參數方程所確定的函數的求導方法,會(huì )求分段函數的導數.

　　(5)理解高階導數的概念,會(huì )求簡(jiǎn)單函數的 n階導數.

　　(6)理解函數的微分概念,掌握微分法則,了解可微與可導的關(guān)系,會(huì )求函數的一階微分.

　　(二)微分中值定理及導數的應用

　　1.知識范圍

　　(1)微分中值定理

　　羅爾(Rolle)定理 拉格朗日(Lagrange)中值定理

　　(2)洛必達(I.'Hospital)法則

　　(3)函數單調性的判定法

　　(4)函數的極值與極值點(diǎn)、最大值與最小值

　　(5)曲線(xiàn)的凹凸性、拐點(diǎn)

　　(6)曲線(xiàn)的水平漸近線(xiàn)與鉛直漸近線(xiàn)

　　2.要求

　　(1)理解羅爾定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義.會(huì )用拉格朗日中值定理證明簡(jiǎn)單的不等式.

　　)熟練掌握用洛必達法則求型

　　未定式的極限的方法.

　　(3)掌握利用導數判定函數的單調性及求函數的單調增、減區間的方法,會(huì )利用函數的單調性證明簡(jiǎn)單的不等式.

　　(4)理解函數極值的概念.掌握求函數的駐點(diǎn)、極值點(diǎn)、極值、最大值與最小值的方法,會(huì )解簡(jiǎn)單的應用問(wèn)題.

　　(5)會(huì )判斷曲線(xiàn)的凹凸性,會(huì )求曲線(xiàn)的拐點(diǎn).

　　(6)會(huì )求曲線(xiàn)的水平漸近線(xiàn)與鉛直漸近線(xiàn).

　　三、一元函數積分學(xué)

　　(一)不定積分

　　1.知識范圍

　　(1)不定積分

　　原函數與不定積分的定義 原函數存在定理 不定積分的性質(zhì)(2)基本積分公式

　　(3)換元積分法

　　第一換元法(湊微分法)第二換元法

　　(4)分部積分法

　　(5)一些簡(jiǎn)單有理函數的積分

　　2.要求

　　(1)理解原函數與不定積分的概念及其關(guān)系,掌握不定積分的性質(zhì),了解原函數存在定理.

　　(2)熟練掌握不定積分的基本公式.

　　(3)熟練掌握不定積分第一換元法,掌握第二換元法(限于三角代換與簡(jiǎn)單的根式代換).

　　(4)熟練掌握不定積分的分部積分法.

　　(5)會(huì )求簡(jiǎn)單有理函數的不定積分.

　　(二)定積分

　　1.知識范圍

　　(1)定積分的概念

　　定積分的定義及其幾何意義 可積條件

　　(2)定積分的性質(zhì)

　　(3)定積分的計算

　　變上限積分 牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式 換元積分法分部積分法

　　(4)無(wú)窮區間的反常積分

　　(5)定積分的應用

　　平面圖形的面積 旋轉體的體積

　　2.要求

　　(1)理解定積分的概念及其幾何意義,了解函數可積的條件.

　　(2)掌握定積分的基本性質(zhì).

　　(3)理解變上限積分是變上限的函數,掌握對變上限積分求導數的方法.

　　(4)熟練掌握牛頓-萊布尼茨公式.

　　(5)掌握定積分的換元積分法與分部積分法.

　　(6)理解無(wú)窮區間的反常積分的概念,掌握其計算方法.

　　(7)掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標軸旋轉所生成的旋轉體的體積.

　　四、空間解析幾何

　　(一)平面與直線(xiàn)

　　1.知識范圍

　　(1)常見(jiàn)的平面方程

　　點(diǎn)法式方程 一般式方程

　　(2)兩平面的位置關(guān)系(平行、垂直)

　　(3)空間直線(xiàn)方程

　　標準式方程(又稱(chēng)對稱(chēng)式方程或點(diǎn)向式方程)一般式方程

　　(4)兩直線(xiàn)的位置關(guān)系(平行、垂直)

　　(5)直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系(平行、垂直和直線(xiàn)在平面上)

　　2.要求

　　(1)會(huì )求平面的點(diǎn)法式方程、一般式方程.會(huì )判定兩平面的垂直、平行.

　　(2)了解直線(xiàn)的一般式方程,會(huì )求直線(xiàn)的標準式方程.會(huì )判定兩直線(xiàn)平行、垂直.

　　(3)會(huì )判定直線(xiàn)與平面間的關(guān)系(垂直、平行、直線(xiàn)在平面上).

　　(二)簡(jiǎn)單的二次曲面

　　1.知識范圍

　　球面 母線(xiàn)平行于坐標軸的柱面 旋轉拋物面 圓錐面 橢球面

　　2.要求

　　了解球面、母線(xiàn)平行于坐標軸的柱面、旋轉拋物面、圓錐面和橢球面的方程及其圖形.

　　五、多元函數微積分學(xué)

　　(一)多元函數微分學(xué)

　　1. 知識范圍

　　(1)多元函數

　　多元函數的定義 二元函數的幾何意義 二元函數極限與連續的概念

　　(2)偏導數與全微分

　　偏導數 全微分二階偏導數

　　(3)復合函數的偏導數

　　(4)隱函數的偏導數

　　(5)二元函數的無(wú)條件極值與條件極值

　　2.要求

　　(1)了解多元函數的概念、二元函數的幾何意義.會(huì )求二元函數的表達式及定義域.了解二元函數的極限與連續概念(對計算不作要求),

　　(2)理解偏導數概念,了解偏導數的幾何意義,了解全微分概念, 了解全微分存在的必要條件與充分條件.

　　(3)掌握二元函數的一、二階偏導數計算方法.

　　(4)掌握復合函數一階偏導數的求法.

　　(5)會(huì )求二元函數的全微分.

　　(6)掌握由方程F(x,y,z)=0所確定的隱函數z=z(x,y)的一階偏導數的計算方法.

　　(7)會(huì )求二元函數的無(wú)條件極值.會(huì )用拉格朗日乘數法求二元函數的條件極值.

　　(二)二重積分

　　1.知識范圍

　　(1)二重積分的概念

　　二重積分的定義 二重積分的幾何意義

　　(2)二重積分的性質(zhì)

　　(3)二重積分的計算

　　(4)二重積分的應用

　　2.要求

　　(1)理解二重積分的概念及其性質(zhì).

　　(2)掌握二重積分在直角坐標系及極坐標系下的計算方法.

　　(3)會(huì )用二重積分解決簡(jiǎn)單的應用問(wèn)題(限于空間封閉曲面所圍成的有界區域的體積、平面薄板的質(zhì)量).

　　六、無(wú)窮級數

　　(一)數項級數

　　1. 知識范圍

　　(1)數項級數

　　數項級數的概念 級數的收斂與發(fā)散 級數的基本性質(zhì) 級數收斂的必要條件

　　(2)正項級數收斂性的判別法

　　比較判別法 比值判別法

　　(3)任意項級數

　　交錯級數 絕對收斂 條件收斂 菜布尼茨判別法

　　2.要求

　　(1)理解級數收斂、發(fā)散的概念.掌握級數收斂的必要條件,了解級數的基本性質(zhì).

　　(2)會(huì )用正項級數的比值判別法與比較判別法.

　　斂性.

　　(4)了解級數絕對收斂與條件收斂的概念,會(huì )使用萊布尼茨判別法.

　　(二)冪級數.關(guān)注公眾號

　　1.知識范圍點(diǎn)擊圖田,關(guān)注公眾號

　　免費領(lǐng)取底考謂程。材相

　　(1)冪級數的概念

　　收斂半徑 收斂區間

　　(2)冪級數的基本性質(zhì)

　　(3)將簡(jiǎn)單的初等函數展開(kāi)為冪級數

　　2.要求

　　(1)了解冪級數的概念.

　　(2)了解冪級數在其收斂區間內的基本性質(zhì)(和、差、逐項求導與逐項積分).

　　(3)掌握求冪級數的收斂半徑、收斂區間(不要求討論端點(diǎn))的方法.

　　的麥克勞林(Ma-

　　claurin)公式,將一些簡(jiǎn)單的初等函數展開(kāi)為x或x一x。的冪級數.

　　七、常微分方程

　　(一)一階 微分方程

　　1.知識范圍

　　(1)微分方程的概念

　　微分方程的定義 階 解 通解 初始條件 特解

　　(2)可分離變量的方程

　　(3)一階線(xiàn)性方程

　　2.要求

　　(1)理解微分方程的定義,理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解.

　　(2)掌握可分離變量方程的解法.

　　(3)掌握一階線(xiàn)性方程的解法.

　　(二)二階線(xiàn)性微分方程

　　1.知識范圍

　　(1)二階線(xiàn)性微分方程解的結構

　　(2)二階常系數齊次線(xiàn)性微分方程

　　(3)二階常系數非齊次線(xiàn)性微分方程

　　2.要求

　　(1)了解二階線(xiàn)性微分方程解的結構.

　　(2)掌握二階常系數齊次線(xiàn)性微分方程的解法.

　　(3)掌握二階常系數非齊次線(xiàn)性微分方程的解法(自由項限定為f(x)=P,(x)e",其中P。(x)為x的n次多項式,a為實(shí)常數).

　　考試形式及試卷結構

　　試卷總分:150分

　　考試時(shí)間:150分鐘

　　考試方式:閉卷,筆試

　　試卷內 容比例:

　　極限和連續約13%

　　一元函數微分學(xué)

　　約25%

　　約25%

　　一元函數積分學(xué)

　　多元函數微積分(含空間解析幾何)

　　約20%

　　無(wú)窮級數約7%

　　常微分方程約10%

　　試卷題型比例:

　　約27%選擇題

　　填空題

　　約27%

　　約46%解答題

　　試題難易比例:

　　約30%容易題

　　約50%

　　中等難度題約20%

　　較難題約20%


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